Корень из х+20-корень из 14-х = 2

Дано иррациональное уравнение √ (х + 20) - √ (14 - х) = 2, однако, сопровождающее требование к нему отсутствует. Решим данное уравнение. Прежде всего, найдём область допустимых значений неизвестной х, при которых данное уравнение имеет смысл. Для этого решим вместе следующие неравенства: х + 20 ≥ 0 и 14 - х ≥ 0. Итак данное уравнение имеет смысл, если х ∈ [-20; 14]. По ходу решения уравнения, воспользуемся определением и свойствами арифметических квадратных корней и степеней. Перепишем данное уравнение в виде: √ (х + 20) = 2 + √ (14 - х). Возводим в квадрат обе части этого уравнения и воспользуемся формулой сокращенного умножения (a + b) ² = a² + 2 * a * b + b² (квадрат суммы). Тогда, имеем: (√ (х + 20)) ² = 2² + 2 * 2 * √ (14 - х) + (√ (14 - х)) ² или х + 20 = 4 + 4 * √ (14 - х) + 14 - х, откуда 2 * √ (14 - х) = х + 1. Ещё раз возводим в квадрат обе части последнего уравнения и ещё раз воспользуемся приведённой выше формулой сокращенного умножения. Следует отметить, что, поскольку левая часть последнего уравнения неотрицательна, а его правая часть может принимать любые значения, то при возведении в квадрат обеих частей таких равенств, могут появляться побочные корни последнего, следовательно, и данного уравнения. Имеем: (2 * √ (14 - х)) ² = (х + 1) ² или 4 * (14 - х) = х² + 2 * х * 1 + 1², откуда х² + 6 * х - 55 = 0. Это уравнение является квадратным уравнением. Найдем его дискриминант: D = 6² - 4 * 1 * (-55) = 36 + 220 = 256. Так как дискриминант больше нуля, то это квадратное уравнение имеет два действительных корня: x₁ = (-6 - √ (256)) / (2 * 1) = (-6 - 16) / 2 = - 22/2 = - 11 и x₂ = (-6 + √ (256)) / (2 * 1) = (-6 + 16) / 2 = 10/2 = 5. Поскольку х = - 11 ∈ [-20; 14] и х = 5 ∈ [-20; 14], то проверим, удовлетворяют ли данное уравнение эти значения х. Проверим х = - 11. Подставляя это значение в левую часть данного уравнения, получим: √ (-11 + 20) - √ (14 - (-11)) = √ (9) - √ (25) = 3 - 5 = - 2 ≠ 2. Значит, х = - 11 не является решением данного уравнения. Проверим, теперь х = 5. Имеем: √ (5 + 20) - √ (14 - 5) = √ (25) - √ (9) = 5 - 3 = 2. Значит, х = 5 является решением данного уравнения.

Ответ: х = 5.