1) задана геометрическая прогрессия7; 4. найдите пятый и общий член геометрической прогрессии. 2) н6 айти сумму первых членов геометрической прогрессии (Bn), еслиа) Bn=7/2^nб) b2=2 b5=16

По условию b₁ = 7, b ₂ = 4.

Из выражения b ₂ = b ₁ q найдем q, подставив числовые данные:

4 = 7q;

q = 4/7.

Вычислим b ₅:

b ₅ = b ₁ q ⁴ = b ₂ q ³;

b ₅ = 4 * (4/7) ³ = 4 * 4 ³ / 7 ³ = 4 ⁴ / 7 ³ = 256/343.

Найдем общий член прогрессии:

b _n = b ₁ q ^{n - 1}.

Подставим числовые значения первого члена прогрессии и знаменателя:

b _n = 7 * (4/7) ^{n - 1} = 7 * 4 ^{n - 1} / 7 ^{n - 1} = 7 * 4 ^{n - 1} / (7 * 7 ^{n - 2} ) = 4 ^{n - 1} / 7 ^{n - 2} .

Ответ: b ₅ = 256/343, b _n = 4 ^{n - 1} / 7 ^{n - 2} .

2. Применим формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии S_n = b ₁ (q ⁿ - 1) / (q - 1).

а) Из формулы общего члена прогрессии b _n = 7 / 2 ⁿ найдем b ₁ и q:

b ₁ = 7 / 2 ¹ = 7/2;

b ₂ = 7 / 2 ² = 7/4;

q = b ₂ / b ₁ = 7/4 : 7/2 = 7/4 * 2/7 = 1/2.

Подставим числовые данные в формулу суммы:

S _n = 7/2 * ((1/2) ⁿ - 1) / (1/2 - 1) = 7/2 * (1/2 ⁿ - 1) / ( - 1/2) = 7/2 * (1/2 ⁿ - 1) * ( - 2) = - 7 (1/2 ⁿ - 1).

б) Найдем b ₁ и q:

b ₂ = b ₁ q;

b ₅ = b ₁ q ⁴ = (b ₁ q) * q ³ = b ₂ q ³.

Подставив значения второго и пятого членов геометрической прогрессии, найдем знаменатель:

16 = 2 * q ³;

q ³ = 16 : 2;

q ³ = 8;

q ³ = 2 ³;

q = 2.

2 = b ₁ * 2;

b ₁ = 2 : 2;

b ₁ = 1.

S _n = 1 (2 ⁿ - 1) / (2 - 1) = 2 ⁿ - 1.