У=9 х-х3 исследовать функцию

y = 9 х - х³.

1) Область определения и область значений.

D (f) = R? х - любое число.

E (f) = R, у любое число.

2) Нули функции. Найдем точки пересечения графика с осью х.

у = 0.

9 х - х³ = 0;

х (9 - х²) = 0

х (3 - х) (3 + х) = 0.

х = 0; х = 3; х = - 3.

График функции пересекает ось х в точках - 3, 0 и 3.

Найдем точку пересечения с осью у.

х = 0.

y = 9 * 0 - 0³ = 0 - 0 = 0

График пересекает ось у в точке 0.

3) Определим четность функции.

f (x) = 9 х - х³.

f ( - x) = 9 * (-х) - (-х) ³ = - 9 х + х³ = - (9 х - х³).

f (x) равно - f ( - x), значит функция нечетная.

4) Определим промежутки знакопостоянства.

График функции пересекает ось х в точках - 3, 0 и 3.

(-∞; - 3) пусть х = - 4; f (-4) = 9 * (-4) - (-4) ³ = - 27 + 64 = 37 (плюс).

(-3; 0) пусть х = - 2; f (-2) = 9 * (-2) - (-2) ³ = - 18 + 8 = - 10 (минус).

(0; 3) пусть х = 2; f (2) = 9 * 2 - 2³ = 18 - 8 = 10 (плюс).

(3; + ∞) пусть х = 4; f (4) = 9 * 4 - 4³ = 27 - 64 = - 37 (минус).

у > 0 на (-∞; - 3) и (0; 3).

у < 0 на (-3; 0) и (3; + ∞).

5) Промежутки возрастания и убывания функции.

Найдем производную функции.

f (x) = 9 х - х³.

f' (x) = 9 - 3 х².

Приравняем производную к нулю.

f' (x) = 0;

9 - 3 х² = 0.

3 (3 - x²) = 0.

х = √3 и х = - √3.

Знаки интервалов: (-) - √3 (+) √3 (1).

(-∞; - √3) производная (-), функция убывает.

(-√3; √3) производная (+), функция возрастает.

(√3; + ∞) производная (-), функция убывает.

Значит, точки - √3 - это точка минимума, а √3 - это точка максимума.

Найдем экстремумы функции:

f (x) = 9 х - х³.

х_min = - √3; f (-√3) = 9 * (-√3) - (-√3) ³ = - 9√3 + 3√3 = - 6√3.

х_max = - √3; f (√3) = 9√3 - (√3) ³ = 9√3 - 3√3 = 6√3.