Log в степени x-3 (x^2-12x+36) <=0 Решить неравенство

log _{(x - 3)} (x² - 12x + 36) ≤ 0.

1) Разберем ОДЗ:

х - 3 > 0; x > 3.

x - 3 не равно 1; х не равен 4.

x² - 12x + 36 > 0; корень по теореме Виета равен 6 (не входит в промежутки), решение неравенства: (-∞; 6) и (6; + ∞).

Общее решение ОДЗ: (3; 4), (4; 6) и (6; + ∞).

2) Представим правую часть неравенства в виде логарифма:

log _{(x - 3)} (x² - 12x + 36) ≤ log _{(x - 3)} 1.

3) Произведем переход от логарифмов к неравенству (в основании есть переменная, поэтому вычтем из основания единицу).

(х - 3 - 1) (x² - 12x + 36 - 1) ≤ 0.

(х - 4) (x² - 12x + 35) ≤ 0.

4) Разложим на множители квадратный трехчлен:

x² - 12x + 35 = (х - х₁) (х - х₂).

По теореме Виета корни равны 5 и 7.

Значит, x² - 12x + 35 = (х - 5) (х - 7).

5) (х - 4) (х - 5) (х - 7) ≤ 0.

Решаем неравенство методом интервалов.

Корни неравенства: 4, 5 и 7.

Знаки неравенства: (-) 4 (+) 5 (-) 7 (+).

Решением будут промежутки со знаком (-).

Решение неравенства: (-∞; 4], [5; 7].

6) Объединяем с решением ОДЗ: (3; 4), (4; 6), (6; + ∞) и (-∞; 4], [5; 7].

Ответ: х принадлежит промежуткам (3; 4) U [5; 6) U (6; 7].