Найти промежутки монотонности y = (x+2) / (x^2-1)

Имеем функцию:

y = (x + 2) / (x^2 - 1).

Для того, чтобы найти промежутки монотонности, первоначально найдем производную функции.

Функция имеет смысл при всех значениях переменной, кроме - 1 и 1.

Найдем производную функции:

y' = (x^2 - 1 - (x + 2) * 2 * x) / (x^2 - 1) ^2;

y' = (x^2 - 1 - 2 * x^2 - 4 * x) / (x^2 - 1) ^2;

y' = (-x^2 - 4 * x - 1) / (x^2 - 1) ^2;

y' = - (x^2 + 4 * x + 1) / (x^2 - 1) ^2;

Найдем критические точки:

x^2 + 4 * x + 1 = 0;

D = 16 - 4 = 12;

x1 = (-4 - 12^ (1/2)) / 2;

x2 = (-4 + 12^ (1/2)) / 2;

Методом интервалов:

1) Если x < (-4 - 12^ (1/2)) / 2), то производная меньше нуля - функция убывает.

2) Если (-4 - 12^ (1/2)) / 2) < x < - 1, то производная больше нуля - функция возрастает.

3) Если - 1 < x < (-4 + 12^ (1/2)) / 2), то производная больше нуля - функция убывает.

4) Если (-4 + 12^ (1/2)) / 2) < x < 1, то производная меньше нуля - функция убывает.

5) Если x > 1, то производная меньше нуля - функция убывает.