Найти точку, в которой касательная к графику функции у=х2 перпендикулярна прямой 2 х-у+1=0

Рассмотрим функцию у = х². Как известно, эта функция определена для всех х ∈ (-∞; + ∞) и её графиком на координатной плоскости Оху является парабола с ветвями, направленными вверх и вершиной в начале координат О (0; 0). По требованию задания, найдём точку (если таковая существует), в которой касательная к графику данной функции перпендикулярна прямой 2 * х - у + 1 = 0. Как известно, уравнение касательной к графику функции f (x) в точке x₀ имеет вид: у = f (x₀) + f ' (x₀) * (x - x₀). Для нашей функции f (x) = х², получим: f Ꞌ (x) = (х²) Ꞌ = 2 * х и f ' (x₀) = 2 * x₀. Следовательно, уравнение касательной к графику нашей функции f (x) в точке x₀ имеет вид: у = f (x₀) + 2 * x₀ * (x - x₀) = (x₀) ² + 2 * x₀ * x - 2 * (x₀) ² = 2 * x₀ * x - (x₀) ², то есть, у = 2 * x₀ * x - (x₀) ². Согласно условия задания касательная перпендикулярна прямой 2 * х - у + 1 = 0. Перепишем это уравнение в виде: у = 2 * х + 1. Ясно, что угловой коэффициент для этой прямой равен 2. Воспользуемся условием перпендикулярности прямых, которое звучит следующим образом: "две прямые перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов равно - 1". Для нашего примера имеем: 2 * x₀ * 2 = - 1. Откуда, x₀ = - 1/4. Тогда у₀ = f (x₀) = (-1/4) ² = 1/16. Следовательно, уравнение касательной: у = 2 * (-1/4) * x - 1/16 или 8 * х + 16 * у + 1 = 0. Таким образом, точкой касания является точка с координатами (-1/4; 1/16).

Ответ: (-1/4; 1/16).