1) Число 9 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение квадрата одного из них на утроенное другое слагаемое было наибольшим. 2) Докажите, что функция f (x) = sinx-3x убывает на R

1. Пусть x, y - числа удовлетворяющие условию задачи. Тогда:

x > = 0, y > = 0 и x + y = 9. Из этого сразу вытекает:

x = 9 - y < = 9 и x < = 9, т. е. 0 < = x < = 9 и 0 < = y < = 9.

Нам необходимо найти такие x, y, что x^2 * 3 * y было наибольшим.

Рассмотрим функцию f (x) = x^2 * 3 * (9 - x) = 27 * x^2 - 3 * x^3 на интервале 0 < = x < = 9.

Найдем точки экстремума: производная f (x) = 54 * x - 9 * x^2 =

= 9 * x * (6 - x) = 0, x=0 и x = 6. На интервале 0 < x < 6 производная положительная, а на 6 < x < 9 - отрицательная.

значит максимум достигается в точке x = 6. Искомое представление:

9 = 6 + 3.

2. f (x) = sin (x) - 3 * x.

Производная f (x) = cos (x) - 3.

-1 < = cos (x) < = 1, - 4 < = cos (x) - 3 < = - 2 и значит при любом x отрицательна. Следовательно, f (x) убывает на R.