число 9 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение квадрата одного из них на утроенное другое слагаемое было как-большим Доп. Задание: докажите, что функция f (x) = 2sinx*sin (0,5pi+x) + 3,2x возрастает на множестве R

1) Пусть первое число равно х, тогда второе число будет равно (9 - х), так как сумма их равна 9.

Квадрат первого числа равен x², утроенное второе число равно 3 (9 - х).

Выразим их произведение: х² * 3 (9 - х) = 3 х² (9 - х) = 27x² - 3 х³.

Найдем значение х, при котором это произведение будет наибольшим, через производную:

(27x² - 3 х³) ' = 54 х - 9 х².

Найдем нули производной:

54 х - 9 х² = 0.

9 х (6 - х) = 0.

х = 0 и х = 6.

Определим точку максимума:

(-∞; 0) пусть х = - 1: 54 * (-1) - 9 * (-1) ² = - 54 - 9 = - 63 (-) функция убывает.

(0; 6) пусть х = 1: 54 * 1 - 9 * 1² = 54 - 9 = 45 (+) функция возрастает.

(6; + ∞) пусть х = 7: 54 * 7 - 9 * 7² = 378 - 441 = - 63 (-) функция убывает.

Значит, х = 6 - это максимум функции.

То есть первое число равно 6, а второе равно 9 - 6 = 3.

Ответ: 9 = 6 + 3.

2) Доп. задание.

Сначала упростим функцию:

f (x) = 2sinxsin (п/2 + x) + 3,2x = 2sinxcosx + 3,2x = sin (2x) + 3,2x.

Вычислим производную функции:

f' (x) = (sin (2x) + 3,2x) ' = cos (2x) * (2x) ' + 3,2 = 2cos (2x) + 3,2.

Определим знак производной на всем протяжении. Максимальное значение косинуса (любого угла) может быть только равно 1:

2cos (2x) + 3,2 = 2 * 1 + 3,2 = 5,2 (+).

Косинус может равняться 0: 2 * 0 + 3,2 = 3,2 (+).

Минимальное значение косинуса может быть (-1) : 2 * (-1) + 3,2 = 1,2 (+).

То есть производная положительна при любом значении х. То есть функция возрастает при любом значении х (х = R).