Lim x--x0 3x²-14x+8 / 2x²-7x-4 при x0=2; x0=4; x0=бесконечн.

1) x0=2

В этом случае неопределенности нет, подставляем вместо х значение 2:

Lim x--2 3x²-14x+8 / 2x²-7x-4 = 3*2^2-14*2+8/2*2^2-7*2-4 = 12-28+8 / 8-14-4 = - 8/-10=0.8

2) x0=4

В этом случае есть неопределенность вида 0/0. Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: 3x²-14x+8=0

D = (-14) ^2-4*8/*=196-96=100

корень D=10

x1 = (14-10) / 2*3=4/6=2/3

x2 = (14+10) / 2*3=24/6=3=4

3x²-14x+8=3 (x-2/3) (x-4)

Знаменатель: 2x²-7x-4=0

D = (-7) ^2-4 * (-4) * 2=49+32=81

корень D=9

х1 = (7-9) / 2*2=-2/4=-0,5

х2 = (7+9) / 2*2=16/4=4

2x²-7x-4=2 (х+0,5) (х-4)

Lim x--4 3x²-14x+8 / 2x²-7x-4 = Lim x--4 3 (x-2/3) (x-4) / 2 (х+0,5) (х-4) = Lim x--4 3 (x-2/3) / 2 (х+0,5) = 3/2*Lim x--4 (x-2/3) / (х+0,5) = 3/2 * ((4-2/3) / (4+0,5)) = 3/2 * ((10/3) : (9/2)) = 10/9=1 1/9

3) x0=бескон

Lim x--бескон 3x²-14x+8 / 2x²-7x-4 = Lim x--бескон x^2 (3-14/x+8/x^2) / x^2 (2-7/x-4/x^2) = Lim x--бескон (3-14/x+8/x^2) / (2-7/x-4/x^2) = 3/2 = 1.5