Студент знает 30 вопросов из 50. Какова вероятность, что на экзамене он ответит на четыре вопроса из пяти, заданные ему при ответе? Найти наивероятнейшее число правильных ответов.

1) Общее количество способов получить 5 вопросов из 50:

C (50,5) = 50! / (5! · (50 - 5) !) = 46 · 47 · 48 · 49 · 50 / (1 · 2 · 3 · 4 · 5) = 2118760;

Количество способов получить 4 вопроса из 30, которые студент знает:

C (30,4) = 30! / (4! · (30 - 4) !) = 27 · 28 · 29 · 30 / (1 · 2 · 3 · 4) = 27405;

Количество способов получить один вопрос из 20, которые студент не знает:

C (20,1) = 20.

Вероятность того, что студент ответит на 4 вопроса из 5:

P = C (30,4) · C (20,1) / C (50,5) = 27405 · 1 / 2118760 = 0,259.

2) Вероятность того, что студент ответит на вопрос: p = 30/50 = 3/5;

Вероятность того, что студент не ответит на вопрос: q = 1 - p = 1 - 3/5 = 2/5;

Наивероятнейшее число правильных ответов будем искать по формуле:

np - q ≤ k ≤ np + p; где n = 5 - число вопросов, k - наивероятнейшее число правильных ответов.

5 · 3/5 - 2/5 ≤ k ≤ 5 · 3/5 + 3/5;

3 - 0,4 ≤ k ≤ 3 + 0,6;

2,6 ≤ k ≤ 3,6;

k = 3; (k должно быть целым числом).

Ответ: Вероятность ответить на 4 вопроса 0,259; наивероятнейшее число правильных ответов: k = 3.