Исследовать ф-цию на монотонность x^3/3+x^2-3x+5/3

У (Х) = (1/3) * Х³ + Х² - 3 * Х + 5/3.

Определим производную функции У (Х).

У' (X) = Х² + 2 * Х - 3.

Приравняем производную нулю и определим критические точки.

Х² + 2 * Х - 3 = 0.

По теореме Виета:

Х₁ + Х₂ = - 2.

Х₁ * Х₂ = - 3.

Х¹ = 1.

Х² = - 3

Определим знаки производной на интервалах (-∞; - 3), (-3; 1), (1; + ∞).

У' (-4) = 16 - 8 - 3 = 5.

У' (0) = 0 + 0 - 3 = - 3.

У' (2) = 4 + 4 - 3 = 5.

На интервале (-∞; - 3) производная положительная, тогда функция У (Х) возрастает.

Уmax = У (-3) = (-3) ³ / 3 + (-3) ² - 3 * (-3) + 5/3 = - 9 + 9 + 9 + 5/3 = 32/3 = 10 (2/3).

На интервале (-3; 1) производная отрицательная, тогда функция У (Х) убывает.

Уmin = У (1) = 1³ / 3 + 1² - 3 * 1 + 5/3 = 1/3 + 1 - 3 + 5/3 = 0.

На интервале (1; + ∞) производная положительная, тогда функция У (Х) возрастает.

Ответ:

На интервале (-∞; - 3) функция возрастает.

На интервале (-3; 1) функция убывает.

На интервале (1; + ∞) функция возрастает.

Уmax = 10 (2/3), Уmin = 0.