tg^2x+ctg^2x=16*cos2x

В левой части уравнения сделаем преобразования, используя основные формулы тригонометрии:

tg²x = sin²x / cos²x; ctg²x = cos²x / sin²x;

Тогда:

tg²x + ctg²x = (sin²x * sin²x + cos²x * cos²x) / (sin²x + cos²x);

Известно, что:

sin²x + cos²x = 1;

Поэтому:

sin²x * sin²x + cos²x * cos²x = sin⁴x + cos⁴x = 1 - 2cos²x;

Есть формула: cos²α = (1 + cos2α) / 2:

Используем его:

1 - 2cos²x = 1 - (1 + cos2α) / 2 = ½ (1 - cos2x);

Тогда уравнение tg²x + ctg²x = 16 * cos2x примет следующий вид:

½ (1 - cos2x) = 16 * cos2x; → 1 - cos2x = 32cos2x; cos2x = 1 / 33.

2x = arccos1/33.

Ответ: x = ½arccos1/33.