Решите неравенство log₄²x-3log₄x+2>0

Так как в неравенстве есть логарифм, то ОДЗ: х > 0.

Введем новую переменную, пусть log₄x = а.

log₄²x - 3log₄x + 2 > 0.

а² - 3 а + 2 > 0 (это парабола, ветви направлены вверх).

Находим нули данной функции (точки пересечения параболы с осью х):

а² - 3 а + 2 = 0.

D = (-3) ² - 4 * 1 * 2 = 9 - 8 = 1 (√D = 1);

a₁ = (3 - 1) / 2 = 1;

a₂ = (3 + 1) / 2 = 2.

Решением неравенства будут промежутки, где парабола находится выше оси х. Учитывая, что ветки направлены вверх, решением будут (-∞; 1) и (2; + ∞).

Или, если записать в виде неравенств: а 2.

Вернемся к замене log₄x = а.

1) а < 1; log₄x < 1; log₄x < log₄4; х < 4.

2) а > 2; log₄x > 2; log₄x > log₄16; х > 16.

Учитывая ОДЗ, получаем ответ:

х принадлежит промежуткам (0; 4) и (16; + ∞).