Найдите наибольшее значение функции y=x+1/x на отрезке 0,5; 3

1. Область определения данной функции:

x ≠ 0; x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; ∞).

2. Вычислим производную и найдем критические точки функции:

y = x + 1/x; y' = 1 - 1/x^2; 1 - 1/x^2 = 0; 1 = 1/x^2; x^2 = 1; x = ±1.

3. Промежутку [0,5; 3] принадлежит одна критическая точка: x = 1. Найдем значения функции в этой точке и на концах отрезка:

y = x + 1/x; y (0,5) = 0,5 + 1/0,5 = 0,5 + 2 = 2,5; y (1) = 1 + 1/1 = 1 + 1 = 2; y (3) = 3 + 1/3 = 3 1/3.

Ответ. Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [0,5; 3]: 2 и 3 1/3.