Найдите значения x, при котором функция у = (x-a) ^2 + (x-b) ^2 принимает своё наименьшее значение.

Проведём преобразования функции y (x):

y (x) = (x - a) ^2 + (x - b) ^2 =

= x^2 - 2 * a * x + a^2 + x^2 - 2 * b * x + b^2 =

= 2 * x^2 - 2 * (a + b) * x + a^2 + b^2 =

= 2 * (x^2 - 2 * ((a + b) / 2) * x + (a^2 + b^2) / 2) =

= 2 * (x^2 - 2 * ((a + b) / 2) * x + (a^2 + b^2) / 4 +

+ (a^2 + b^2) / 4) =

= 2 * ((x - (a + b) / 2) ^2 + (a^2 + b^2) / 4) > = 2 * (a^2 + b^2) / 4 = (a^2 + b^2) / 2, причём равенство достигается при

x = (a + b) / 2.

Ответ: наименьшее значение y (x) достигается при

x = (a + b) / 2.