Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=x^5-9x^4+5x^3+1 на отрезке - 1 меньше или равно x меньше или равно 2

1. Вычислим производную функции и найдем критические точки:

y = x^5 - 9x^4 + 5x^3 + 1;

y' = 5x^4 - 36x^3 + 15x^2 = x^2 (5x^2 - 36x + 15) = 0;

1) x1 = 0;

2) D/4 = 18^2 - 5 * 15 = 324 - 75 = 249;

x = (18 ± √249) / 5;

x2 = (18 - √249) / 5 ≈ 0,44 ∈ [-1; 2];

x3 = (18 + √249) / 5 ≈ 6,76 ∉ [-1; 2].

2. Знаки производной функции в промежутках:

a) x (-∞; 0), y' > 0; b) x (0; x2), y' > 0; c) x (x2; x3), y' <0; d) x (x3; ∞), y'> 0.

Функция возрастает на промежутках (-∞; 0,44) и (6,76; ∞) и убывает на промежутке (0,44; 6,76). Поэтому на отрезке [-1; 2] наибольшее значение будет в точке x2, а наименьшее значение - на одном из концов отрезка:

y (-1) = - 1 - 9 - 5 + 1 = - 14; y (2) = 32 - 144 + 40 + 1 = - 71;

y (min) = - 71;

y (max) = y (x2) ≈ y (-0,44) ≈ 1,1.

Ответ: y (min) = - 71; y (max) ≈ 1,1.