Sin в 6 степени альфа+cos в 6 степени альфа, найдите наименьшее и наибольшее значение выражения

Для того, чтобы найти наименьшее и наибольшее значение функции sin^6 (a) + cos^6 (a), найдем ее локальный минимум и локальный максимум (из вида функции нетрудно понять, что она является периодической, и других значений в точках экстремума не будет). Необходимым условием экстремума функции в точки является равенство нулю в ней ее производной:

(sin^6 (a) + cos^6 (a)) ' = 6 * sin^5 (a) * cos (a) - 6 * cos^5 (a) * sin (a) = 0.

Здесь мы учли, что sin^6 (a) + cos^6 (a) - сложная функция (степенная и тригонометрическая).

Теперь вынесем за скобку общий множитель sin (a) * cos (a) : sin (a) * cos (a) * (sin^4 (a) - cos^4 (a)) = 0.

Отсюда следует, что или sin (a) = 0, или cos (a) = 0, или sin^4 (a) - cos^4 (a) = 0.

Для sin (a) = 0 и cos (a) = 0 получим, что а1 = pi * n / 2, где n - любое целое число.

Теперь решим уравнение sin^4 (a) - cos^4 (a) = 0. Разложим на множители эту разность квадратов: (sin^2 (a) - cos^2 (a)) (sin^2 (a) + cos^2 (a)) = 0. Вторая скобка представляет собой основное тригонометрическое тождество и равно 1, а первая - разложенный косинус двойного угла со знаком минус: - cos (2a) = 0. Значит а2 = pi / 4 + pi * n / 2, где n - любое целое число.

Подставим получившиеся корни: sin^6 (0) + cos^6 (0) = 1.

sin^6 (pi / 4) + cos^6 (pi / 4) = 1 / 4 + 1 / 4 = 1 / 2.

sin^6 (pi / 2) + cos^6 (pi / 2) = 1.

sin^6 (3 * pi / 4) + cos^6 (3 * pi / 4) = 1 / 4 + 1 / 4 = 1 / 2.

Дальше видим, что значения повторяют, что подтверждает наше предположение.

Окончательно, минимум функции: 1 / 2. Максимум функции: 1.