Найти все значения параметра а, при которых сумма квадратов корней уравнения x^2-ax+a+7=0 равна 10

х^2 - ах + а + 7 = 0 - это квадратное уравнение, в котором коэффициент а = 1, коэффициент b = - a, коэффициент с = а + 7. Чтобы у квадратного уравнения было 2 корня, надо, чтобы его дискриминант был положительным.

D = b^2 - 4ac;

D = (-a) ^2 - 4 * 1 * (a + 7) = a^2 - 4a - 28.

Найдем корни уравнения при условии, что а^2 - 4 а - 28 > 0.

х = (-b ± √D) / (2a);

x1 = (a + √D) / 2; x2 = (a - √D) / 2.

Запишем сумму квадратов корней:

(х1) ^2 + (х2) ^2 = ((а + √D) ^2) / 4 + ((a - √D) ^2) / 4) = ((a^2 + 2a√D + D) + (a^2 - 2a√D + D)) / 4 = (a^2 + 2a√D + D + a^2 - 2a√D + D) / 4 = (2a^2 + 2D) / 4 = (2a^2 + 2 (a^2 - 4a - 28)) / 4 = (2a^2 + 2a^2 - 8a - 56) / 4 = a^2 - 2a - 14 - это выражение приравняем к 10;

a^2 - 2a - 14 = 10;

а^2 - 2 а - 24 = 0;

D = (-2) ^2 - 4 * 1 * 24 = 4 + 96 = 100; √D = 10;

a1 = (2 + 10) / 2 = 12/2 = 6;

a2 = (2 - 10) / 2 = - 8/2 = - 4.

Проверим корни.

1) а = 6; а^2 - 4 а - 28 = 6^2 - 4 * 6 - 28 = 36 - 24 - 28 < 0, значит, 6 - посторонний корень;

2) а = - 4; (-4) ^2 - 4 * (-4) - 28 = 16 + 16 - 28 > 0, значит (-4) - наше решение.

Ответ. При а = - 4.