Можно ли расставить по кругу числа 12, 14,15,34,45 таким образом, чтобы у любых двух чисел, которые будут стоять рядом, была одинаковая цифра?

Если проанализировать данные числа, то 3 из них содержат цифру 1, 2 числа содержат цифру 5 и 3 числа содержат цифру 4. Этого вполне достаточно для выполнения условия. Варианты расстановки:

12, 14, 34, 45, 15, (12);

12, 15, 45, 34, 14, (12).

Если же имелось в виду, что последняя цифра числа должна повторяться в следующем числе в первой цифре, то выполнение задачи невозможно, так как цифра 2 единственная.