найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=x^2 и y=2-x^2

Построив графики, определяем, что нужно найти площадь, ограниченную двумя параболами. Находим промежутки интегрирования, т. е. общие точки графиков двух функций:

x² = 2 - x²,

2 * x² = 2,

x² = 1,

x = 1,

x = - 1.

График y (x) = 2 - x² расположен выше, поэтому искомая площадь есть интеграл разности двух функций:

s = интеграл (от - 1 до 1) (2 - x² - x²) dx = интеграл (от - 1 до 1) (2 - 2 * x²) dx = 2 * x - 2 * x³ / 3 (от - 1 до 1) = 2 - 2 / 3 + 2 - 2 / 3 = 4 - 4 / 3 = 8 / 3 ед².

Ответ: площадь равна 8 / 3 ед².