При каких значениях а один корень уравнения X^2 - (a+1) * x+2a^2=0 больше 0,5, а другой меньше 0,5

1. Найдем дискриминант и корни уравнения:

x^2 - (a + 1) x + 2a^2 = 0; D = (a + 1) ^2 - 8a^2; x = (a + 1 ± √D) / 2.

2. Условие о двух корнях:

{ (a + 1 - √D) / 2 < 0,5;

{ (a + 1 + √D) / 2 > 0,5; {a + 1 - √D < 1;

{a + 1 + √D > 1; {a - √D < 0;

{a + √D > 0; {√D > a;

{√D > - a; √D > |a|.

3. Возведем в квадрат:

D > a^2, этим неравенством, в частности, обеспечивается условие существования двух корней. (a + 1) ^2 - 8a^2 > a^2; (a + 1) ^2 - 9a^2 > 0; (a + 1 + 3a) (a + 1 - 3a) > 0; (4a + 1) (1 - 2a) > 0; (4a + 1) (2a - 1) < 0; a1 = - 1/4; a2 = 1/2. a ∈ (-1/4; 1/2).

Ответ: (-1/4; 1/2).