Log2x-3 (x^2+2x-7) = 2

Используя свойство логарифма, преобразуем равенство.

(2x - 3) ² = x² + 2x - 7.

Теперь раскроем скобки и упростим.

4 х² - 12 х + 9 = x² + 2x - 7.

4 х² - 12 х + 9 - x² - 2x + 7 = 0.

3 х² - 14 х + 16 = 0.

Вычислим дискриминант.

D = (-14) ² - 4 * 3 * 16 = 196 - 192 = 4 = 2².

Теперь найдем корни уравнения.

Х₁ = ( - (-14) + 2) / (3 * 2) = 16/6 = 8/3.

Х₂ = ( - (-14) - 2) / (3 * 2) = 12/6 = 2.

Поскольку мы не находили область определения Х в выражении log _{2x - 3} (x² + 2x - 7) = 2, необходимо проверить найденные корни уравнения.

1) log _{2 * 8/3 - 3} ((8/3) ² + 2 * 8/3 - 7) = 2.

log _7/3 (64/9 + 16/3 - 7) = 2.

log _7/3 (64/9 + 48/9 - 63/9) = 2.

log _7/3 (49/9) = 2.

log _7/3 (7/3) ² = 2.

Равенство выполнимо.

2) log _{2 * 2 - 3} (2² + 2 * 2 - 7) = 2.

log ₁ 1 = 2.

Равенство выполнимо.

Ответ: уравнение имеет 2 корня Х₁ = 8/3 и Х₂ = 2.