Определите, при каких значениях х производная функции: а) у=x^2+6x+5; равна нулю; положительна; отрицательна.

Найдём производную данной функции: y = x^2 + 6x + 5.

Воспользовавшись формулами:

(x^n) ' = n * x^ (n-1) (производная основной элементарной функции).

(с) ' = 0, где с - const (производная основной элементарной функции).

(с * u) ' = с * u', где с - const (основное правило дифференцирования).

(u + v) ' = u' + v' (основное правило дифференцирования).

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

y' = (x^2 + 6x + 5) ' = (x^2) ' + (6x) ' + (5) ' = 2 * x^ (2 - 1) + 6 * x^ (1 - 1) + 0 = 2 * x^1 + 6 * x^0 = 2x + 6 * 1 = 2x + 6.

Вычислим когда производная y' = 0:

2x + 6 = 0;

2x = - 6;

x = - 6 / 2 = - 3.

То есть y' = 0 при x = - 3.

Вычислим когда производная y' > 0:

2x + 6 > 0;

2x > - 6;

x > - 3.

То есть y' > 0 при x > - 3.

Вычислим когда производная y' < 0:

2x + 6 < 0;

2x < - 6;

x < - 3.

То есть y' < 0 при x < - 3.

Ответ: y' = 0 при x = - 3; y' > 0 при x > - 3; y' < 0 при x < - 3.