Найти пределы, используя эквивалентные бесконечно-малые lim x->0 ln (1+2x) / tg (2 П (x+1/2)

Найдем производные функций в числителе и знаменателе дроби:

(ln (1 + 2x)) ' = 1 / (1 + 2x) * (1 + 2x) ' = 2 / (1 + 2x).

(tg (2π (x + 1/2)) = 1/cos^2 (2π (x + 1/2)) * (2π (x + 1/2)) ' = 1/cos^2 (2π (x + 1/2)) * 2π.

Тогда заданный предел будет выглядеть следующим образом:

lim (2 * cos^2 (2π (x + 1/2) / 2π * (1 + 2x) = 2 * cos (π) / 2π = - 1/π.

Ответ: предел заданной функции в точке равен - 1/π.