Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 119 м, а его гипотенуза 89 м. Найдите площадь треугольника с помощью: а) уравнения б) системы уравнения в) формул скоращенного умножения

а) Пусть один из катетов равен x, тогда другой равен 119 - x. По теореме Пифагора:

x^2 + (119 - x) ^2 = 89^2; x^2 + 14161 - 238x + x^2 = 7921; 2x^2 + 14161 - 238x - 7921 = 0; 2x^2 - 238x + 6240 = 0; x^2 - 119x + 3120 = 0; D = 119^2 - 4 * 3120 = 14161 - 12480 = 1681 = 41; x = (119 ± 41) / 2;

1) x = (119 - 41) / 2 = 78/2 = 39 (м);

119 - x = 119 - 39 = 80 (м);

2) x = (119 + 41) / 2 = 160/2 = 80 (м);

119 - x = 119 - 80 = 39 (м).

б и в) С помощью системы уравнений и формул сокращенного умножения:

{x + y = 119;

{x^2 + y^2 = 89^2; {x + y = 119;

{ (x + y) ^2 - 2xy = 7921; {x + y = 119;

{119^2 - 2xy = 89^2; {x + y = 119;

{2xy = 119^2 - 89^2; {x + y = 119;

{2xy = (119 + 89) (119 - 89); {x + y = 119;

{2xy = 208 * 30; {x + y = 119;

{xy = 3120.

x и y - корни уравнения:

t^2 - 119t + 3120 = 0; t1 = 39; t2 = 80.

Площадь треугольника:

S = 1/2 * 39 * 80 = 40 * 39 = 1560 (м^2).

Ответ: 1560 м^2.