Найти неопределенный интеграл 1) (x^3) / (1+x^8) dx 2) (x-3) / (x^2+6x+7) dx 3) Arcsinxdx

1) Рассмотрим неопределенный интеграл ∫ (x³ / (1 + x⁸) dx, которого обозначим через А и перепишем в виде А = ∫ (1 / (1 + x⁸)) * x³dx. Выражение x³ подведем под знак дифференциала, то есть: x³dx = ¼ * dx⁴. Заменим переменную: у = x⁴. Тогда, имеем: x⁸ = (x⁴) ² = у², x³dx = ¼ * dу. Следовательно, данный интеграл можно представить следующим образом. А = ∫ (¼ * 1 / (1 + у²)) dу. Получили табличный интеграл. Формула ∫ (1 / (1 + x^²)) dx = arctgx + C и обратная замена позволит окончательно вычислить: А = ¼ * arctgy + С = ¼ * arctg (x⁴) + С.

2) Рассмотрим неопределенный интеграл ∫ ((x - 3) / (x² + 6 * x + 7)) dx, которого обозначим через А. Раскладываем рациональную дробь (x - 3) / (x² + 6 * x + 7) на простейшие дроби и вычислим: А = ½ * ∫ (2 * х - 6) / (x² + 6 * x + 7)) dx = ½ * ∫ (1 / (x² + 6 * x + 7)) d (x² + 6 * x + 7) - 6 * ∫ (1 / (x² + 6 * x + 7)) dx. Первый интеграл оказался табличным интегралом, а для вычисления второго - представим квадратный трёхчлен x² + 6 * x + 7 представим в виде (х + 3) ² - 2. Тогда, получим 1 / (x² + 6 * x + 7) = 1 / ((х + 3) ² - 2) = 1 / ((х + 3 - √ (2)) * (х + 3 + √ (2))) = (1 / 2√ (2)) * (1 / (х + 3 - √ (2)) - 1 / (х + 3 + √ (2))). Итак, А = ½ * ∫ (1 / (x² + 6 * x + 7)) d (x² + 6 * x + 7) - 6 * (1 / 2√ (2)) * (∫ (1 / (х + 3 - √ (2)) dx - ∫ (1 / (х + 3 + √ (2)) dx) = ½ * ln (x² + 6 * x + 7) - 1,5√ (2) * (ln|х + 3 - √ (2) | - ln|х + 3 + √ (2) |) + C = ½ * ln (x² + 6 * x + 7) - 1,5√ (2) * ln| (х + 3 - √ (2)) / (х + 3 + √ (2)) | + C.

3) Рассмотрим неопределенный интеграл ∫arcsinxdx, которого обозначим через А. Используем интегрирование по частям: ∫udv = u * v - ∫vdu, где u = arcsinx и dv = dx. Тогда, du = (1 / √ (1 - x²)) dx и v = x. Имеем: А = х * arcsinx - ∫ (х / √ (1 - x²)) dx. Для того, чтобы найти полученный интеграл, введём замену переменной t = 1 - x². Тогда dt = - 2 * xdx, следовательно, xdx = (-1/2) dt. Итак, ∫ (х / √ (1 - x²)) dx = (-1/2) * ∫t^-1/2dt = (-1/2) * t^{-1/2 + 1} / (-1/2 + 1) + C = - √ (t) + C. Сделаем обратную замену переменной: А = х * arcsinx - (-√ (1 - x²)) + C = х * arcsinx + √ (1 - x²) + C.