Выразить sin^6 (a) + cos^6 (a) через cos (4a)

Заметим, что sin^6 (a) = sin^2 (a) * sin^2 (a) * sin^2 (a),

аналогично: cos ^6 (a) = cos ^2 (a) * cos ^2 (a) * cos ^2 (a);

воспользуемся формулами половинного аргумента:

sin^2 (a/2) = (1 - cos (a)) / 2;

cos^2 (a/2) = (1 + cos (a)) / 2;

Получим:

1/8 * ((1 - cos (2a)) ^3 + (1 + cos (2a)) ^3;

Раскроем скобки по формулам сокращенного умножения для разности и суммы кубов и приведем подобные члены:

1/8 * (1 - 3cos (2a) + 3cos^2 (2a) - cos^3 (2a) + 1 + 3cos (2a) + 3cos^2 (2a) + cos^3 (2a) = 1/8 * (2 + 6cos^2 (2a)) = 1/4 * (1 + 3cos^2 (2a)) = 5/8 + 3/8 cos (4a) = 0,625 + 0,375cos (4a)

Ответ: 0,625 + 0,375cos (4a)