Sin^2x+sin^2 (2x) = cos^2 (3x) + cos^2 (4x)

Рассмотрим тригонометрическое уравнение sin²x + sin² (2 * x) = cos² (3 * x) + cos² (4 * x). Применим к левой части данного уравнения формулу sin²α = (1 - cos (2 * α)) / 2, а к правой - формулу cos²α = (1 + cos (2 * α)) / 2. Имеем: (1 - cos (2 * х)) / 2 + (1 - cos (2 * 2 * х)) / 2 = (1 + cos (2 * 3 * х)) / 2 + (1 + cos (2 * 4 * х)) / 2. Упрощая, получим cos (8 * х) + cos (6 * х) + cos (4 * х) + cos (2 * х) = 0. К левой части последнего уравнения дважды применим формулу cosα + cosβ = 2 * cos (½ * (α + β)) * cos (½ * (α - β)) (сумма косинусов). Имеем: 2 * cos (½ * (8 * х + 6 * х)) * cos (½ * (8 * х - 6 * х)) + 2 * cos (½ * (4 * х + 6 * х)) * cos (½ * (4 * х - 2 * х)) = 0 или, упрощая, cos (7 * х) * cosх + cos (5 * х) * cosх = 0. Последнее уравнение перепишем в виде: cosх * (cos (7 * х) + cos (5 * х)) = 0, откуда cosх * 2 * cos (½ * (7 * х + 5 * х)) * cos (½ * (7 * х - 5 * х)) = 0 или cos²х * cos (6 * х) = 0. Последнее уравнение равносильно уравнениям cosх = 0 и cos (6 * х) = 0. Решая последние простейшие уравнения, получим: х = π/2 + π * n и 6 * х = π/2 + π * m, где n и m - целые числа.

Ответ: х = π/2 + π * n и х = π/12 + (π/6) * m, где n и m - целые числа.