Решить уравнение, используя введение новой переменной: 12/х2-2 х+3 = х2-2 х-1

Обозначим через t выражение, которое встречается и в левой части, и в правой - (х² - 2 х):

12 / (х² - 2 х) + 3 = (х² - 2 х) - 1;

12/t + 3 = t - 1;

12/t + (3 * t) / t = t - 1;

(12 + 3t) / t = t - 1;

(12 + 3t) / t - t + 1 = 0;

(12 + 3t) / t - (t - 1) * t / t = 0;

(12 + 3t - t² + t) / t = 0;

(12 + 4t - t²) / t = 0.

Чтобы дробь была равна нулю, достаточно, чтобы ее числитель равнялся нулю, а знаменатель не был равен нулю.

12 + 4 а - а² = 0 - это квадратное уравнение.

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

D = b² - 4ac = 4² - 4 * (-1) * 12 = 16 + 48 = 64.

Так как дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два действительных корня:

t₁ = ( - 4 - √64) / 2 * (-1) = ( - 4 - 8) / - 2 = ( - 12) / ( - 2) = 6;

t₂ = ( - 4 + √64) / 2 * (-1) = ( - 4 + 8) / - 2 = 4 / ( - 2) = - 2.

t ≠ 0.

Вернемся к заменам:

х² - 2 х = 6.

х² - 2 х - 6 = 0.

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

D = b² - 4ac = ( - 2) ² - 4 * 1 * ( - 6) = 4 + 24 = 28.

Так как дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два действительных корня:

x₁ = (2 - √28) / 2 * 1 = 1 - √7;

x₂ = (2 + √28) / 2 * 1 = 1 + √7.

х² - 2 х = - 2.

х² - 2 х + 2 = 0.

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

D = b² - 4ac = (-2) ² - 4 * 1 * 2 = 4 - 8 = - 4.

Так как дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет действительных решений.

х² - 2 х ≠ 0.

х * (х - 2) ≠ 0.

х ≠ 0 и х - 2 ≠ 0.

х ≠ 2.

ОТВЕТ: х₁ = 1 - √7, x₂ = 1 + √7, х ≠ 0, х ≠ 2.