X+y+z>корень 3 степени x^3+y^3+z^3 доказать

Как известно (x + y + z) ^ 3 = x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 + 3x ^ 2 * y + 3x ^ 2 * z + 3xy^ 2 + 3xz^2 + 3y^2 * z + 3y * z ^ 2 + 6xyz.

Преобразуем к виду: (x + y + z) ^ 3 = (x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3) + 3 * (x ^ 2 * y + x ^ 2 * z + xy^ 2 + xz^2 + y^2 * z + y * z^2 + 2xyz).

В результате возведения в куб и левой и правой частей, можно увидеть, что левая часть равная правой содержит в своей правой части сумму кубов чисел: x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 и плюс выражение 3 * (x ^ 2 * y + x ^ 2 * z + xy^ 2 + xz^2 + y^2 * z + y * z^2 + 2xyz), которая при положительных x, y, z больше нуля.

А без этой скобки правая часть (x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3) < (x + y + z) ^ 3.

Значит, извлекая корень кубический из левой и правой части получим: x + y + z > корень кубический из (x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3).

Неравенство доказано.

Примечание: неравенство верно при x > 0, y > 0, z > 0.