Решить уравнения: 2 sin x - 1 = 0

Перед нами уравнение, где неизвестный член содержится под знаком тригонометрической функции sin.

Тригонометрические уравнения

Тригонометрическим уравнением называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком тригонометрической функции. Выделяют три группы таких функций:

простые тригонометрические функции cosx и sinx; производные тригонометрические функции tgx и ctgx; другие тригонометрические функции secx и cosecx.

Решение любого тригонометрического уравнения сводится к двум этапам - приведению его к простейшему виду и решению полученного простейшего тригонометрического уравнения. Простейшее тригонометрическое уравнение имеет вид:

F (x) = a,

где F - любая из тригонометрических функций (sin, cos, tg, ctg, sec или cosec),

a - числовой коэффициент.

Для приведения к простейшему виду можно проводить алгебраические преобразования:

переносить члены уравнения с одной части в другую с противоположным знаком; прибавлять/вычитать одно и то же число, при этом получим уравнение, равносильное первоначальному; делить/умножить на одно и то же число.

Попробуем преобразовать заданное уравнение и привести его к простейшему виду.

Решим заданное уравнение

Дано уравнение вида 2sinx - 1 = 0. Первый этап решения начнём с его преобразования, а именно: прибавим к левой и правой части уравнения одно и то же число - единицу:

2sinx - 1 = 0,

2sinx - 1 + 1 = 0 + 1,

2sinx = 1.

Далее, чтобы избавить от числового аргумента при тригонометрической функции sin, разделив обе части уравнения на одно и то же число два:

(2sinx) / 2 = 1/2,

sinx = 1/2.

В результате алгебраических преобразований привели уравнение к простейшему виду sinx = a, общим решением которого является решение вида:

Х = (-1) ^k * arcsin (а) + - пk, k e Z, при этом |а| <=1.

На втором этапе решим полученное равносильное уравнение простейшего вида. Числовой коэффициент а = 1/2, значит |1/2| <=1 и уравнение имеет решение:

sinx = 1/2,

x = (-1) ^k * arcsin (1/2) + пk, k e Z;

x = (-1) ^k * п/6 + пk, k e Z.

или

х1 = п/6 + 2 пk, k e Z,

x2 = 5 п/6 + 2 пk, k e Z.

Ответ: х1 = п/6 + 2 пk, k e Z; x2 = 5 п/6 + 2 пk, k e Z.

2 sin x - 1 = 0;

Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

2 sin x = 1;

Чтобы найти один из сомножителей, нужно произведение разделить на другой сомножитель.

sin x = 1/2;

Имеем простое тригонометрическое уравнение.

Решение уравнения sin x = a (при / а / ≤ 1) можно записать в виде формулы:

х = (-1) ^k arcsin a + 2πk, k ∈ Z.

Тогда решение заданного уравнения будет иметь вид:

х = (-1) ^k arcsin 1/2 + 2πk, k ∈ Z.

х = (-1) ^k π/6 + 2πk, k ∈ Z.

Ответ: х = (-1) ^k π/6 + 2πk, k ∈ Z.