Найдите количество различных корней уравнения 3sin^2x+sin2x+cos^2x=1 на промежутке от [0; π]

1. Воспользуемся следующими тригонометрическими формулами для преобразования уравнения:

sin^2 (α) + cos^2 (α) = 1; sin (2α) = 2sinα * cosα; 3sin^2 (x) + sin2x + cos^2 (x) = 1; 2sin^2 (x) + sin^2 (x) + sin2x + cos^2 (x) = 1; 2sin^2 (x) + sin2x + 1 = 1; 2sin^2 (x) + 2sinx * cosx = 0; 2sinx (sinx + cosx) = 0.

2. Каждый множитель приравняем к нулю:

[sinx = 0;

[sinx + cosx = 0; [sinx = 0;

[sinx = - cosx; [sinx = 0;

[tgx = - 1; [x = πk, k ∈ Z;

[x = - π/4 + πk, k ∈ Z.

3. Промежутку [0; π] принадлежат три корня:

0; 3π/4; π.

Ответ: 3 корня.