Решите уравнение (√ (7 + √48)) ^x + (√ (7 - √48)) ^x=14

(√ (7 + √48)) ^x + (√ (7 - √48)) ^x = 14.

Введем новую переменную, пусть (√ (7 + √48)) ^x = а (а > 0).

Определим, как относятся (√ (7 + √48)) ^x и (√ (7 - √48)) ^x.

(√ (7 + √48)) ^x * (√ (7 - √48)) ^x = (√ (7 + √48) √ (7 - √48)) ^x = (√ (49 - 48)) ^x = (√1) ^x = 1^x = 1.

Если произведение двух чисел равно единице, значит, это обратные числа.

(√ (7 - √48)) ^x = 1 / (√ (7 + √48)) ^x.

Получается уравнение:

а + 1/а = 14;

а + 1/а - 14 = 0;

а + 1/а - 14 = 0;

(a^2 - 14 а + 1) / а = 0;

a^2 - 14 а + 1 = 0.

D = 196 - 4 = 192 (√D = √ (4 * 48) = 2√48);

а₁ = (14 - 2√48) / 2 = 7 - √48.

а₂ = 7 + √48.

Возвращаемся к замене (√ (7 + √48)) ^x = а.

1) а₁ = 7 - √48.

(√ (7 + √48)) ^x = 7 - √48;

(7 + √48) ^ (x/2) = (7 + √48) ^ (-1);

х/2 = - 1;

х = - 2.

2) а₁ = 7 + √48.

(√ (7 + √48)) ^x = 7 + √48;

(7 + √48) ^ (x/2) = (7 + √48) ^1;

х/2 = 1;

х = 2.

Ответ: корни уравнения равны - 2 и 2.