Найти сумму шести первых членов геометрической прогрессии (Yn), если Y4=40, Y7=320

Дано: (Y_n) - геометрическая прогрессия;

Y₄ = 40; Y₇ = 320;

Найти: S₆ - ?

Формула n-го члена геометрической прогрессии:

Y_n = Y₁ * q^ (n - 1),

где Y₁ - первый член прогрессии, q - её знаменатель, n - количество членов;

С помощью этой формулы выразим четвертый, шестой и седьмой члены заданной прогрессии:

Y₄ = Y₁ * q^ (4 - 1) = Y₁ * q^3;

Y₆ = Y₁ * q^ (6 - 1) = Y₁ * q^5;

Y₇ = Y₁ * q^ (7 - 1) = Y₁ * q^6.

Учитывая условие, можем составить систему уравнений:

Y₁ * q^3 = 40, (1)

Y₁ * q^6 = 320 (2)

Из (1) уравнения выразим Y₁:

Y₁ = 40 : q^3,

Подставим полученное выражение во (2) уравнение системы:

40 : q^3 * q^6 = 320;

40 * q^3 = 320;

q^3 = 8;

q = 2.

Полученное значение знаменателя q подставляем в выражение для нахождения Y₁:

Y₁ = 40 : q^3 = 40 : 2^3 = 5.

Подставим полученные значения в формулу Y₆ = Y₁ * q^5 = 5 * 2^5 = 160.

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии:

S_n = (Y_n * q - Y₁) / (q - 1),

т. о. S₆ = (Y₆ * q - Y₁) / (q - 1) = (160 * 2 - 5) / (2 - 1) = 315.

Ответ: S₆ = 315.