Найти производную функции у = sin 3 х - cos 3 х и вычислите её значение, если х = 3 П/4.

Найдём производную данной функции: y = sin 3 х - cos 3 х.

Воспользовавшись формулами:

(sin x) ' = cos x (производная основной элементарной функции).

(cos x) ' = - sin x (производная основной элементарной функции).

(x^n) ' = n * x^ (n-1) (производная основной элементарной функции).

(с * u) ' = с * u', где с - const (основное правило дифференцирования).

(u + v) ' = u' + v' (основное правило дифференцирования).

y = f (g (x)), y' = f'u (u) * g'x (x), где u = g (x) (основное правило дифференцирования).

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

y' = (sin 3 х - cos 3 х) ' = (sin 3 х) ' - (cos 3 х) ' = (3 х) ' * (sin 3 х) ' - (3 х) ' * (cos 3 х) ' = 3cos 3x - 3 * ( - sin 3x) = 3cos 3x + 3sin 3x.

Вычислим значение производной в точке х0 = 3π / 4:

y' (3π / 4) = 3 * cos (3 * (3π / 4)) + 3 * sin (3 * (3π / 4)) = 3 * cos (9π / 4) + 3 * sin (9π / 4) = 3 * cos (2π + (π / 4)) + 3 * sin (2π + (π / 4)) = 3 * cos (π / 4) + 3 * sin (π / 4) = 3 * (cos (π / 4) + sin (π / 4)) = 3 * ((√2 / 2) + (√2 / 2)) = 3 * √2 = 3√2.

Ответ: y' = 3cos 3x + 3sin 3x, a y' (3π / 4) = 3√2.