1) Тело движется по прямой так что расстояние S от начальной точки изменяется no закону S = 3t + t^2 (м), где t - время движения в секундах. Найдите скорость тела через 3 с после начала движения. 2) Найти точки экстремума функции f (x) = 3 + 7x - 4 х^2 3) Тело движется по прямой так, что расстояние S (в метрах) от него до точки В этой прямой изменяется по закону S (t) = 2t^3 - 6t^2 + 6 (t - время движения в секундах). Чему будет равно ускорение, через 2 секунды движения? 4) Дана функция f (x) = 2x^2 - х + 1. Найти координаты точки ее графика, в котором угловой коэффициент касательной к нему равен 7. 5) Исследовать функцию на выпуклость и точки перегиба f (x) = 2 х^3 + 9x^2 - 24x.

1) Сначала найдем функцию скорости как производную от функции расстояния по времени.

F' (U) = (3t + t²) ' = (3t) ' + (t²) ' = 3 + 2 * 1t = 3 + 2t.

Теперь найдем скорость тела через 3 сек. после начала движения

U = dS/dt = 3t + t²/t = 3 * 3 + 3²/3 = 3 + 9 = 12 м/с.

2) Найдем производную функции.

f' (x) = (3 + 7x - 4 х²) ' = (3) ' + (7 х) ' - (4 х2) ' = 0 + 7 - 4 * 2 х = 7 - 8 х.

Найдем точки экстремума функции.

f' (x) = 0.

7 - 8x = 0.

-8 х = - 7.

х = - 7 : ( - 8) = 7/8 = 0,875.

х = 0.

f' (0) = 7 - 8 * 0 = 7 - 0 = 7 > 0.

В точке х = 0,875 функция имеет локальный максимум.

у (0,875) = 3 + 7 * 0,875 + 4 * (0,875) ² = 3 + 6,125 + 3,0625 = 12,1875.

3) Найдем функцию скорости как производную функции расстояния.

U (t) = S' (t) = (2t³ - 6t² + 6) ' = (2t³) ' - (6t²) ' + (6) ' = 2 * 3t² - 6 * 2t + 0 = 6t² - 12t.

Найдем функцию ускорения как производную скорости по времени.

a (t) = U' (t) = (6t² - 12t) ' = (6t²) ' - (12t) ' = 6 * 2t - 12 = 12t - 12.

Найдем ускорение тела через 2 секунды после начала движения.

а (2) = 12 * 2 - 12 = 12 м/с².

4) Найдем координаты точки графика.

Сначала найдем производную функции.

f' (x) = (2x² - х + 1) ' = (2x²) ' - (x) ' + (1) ' = 2 * 2x - 1 + 0 = 4x - 1.

Угловой коэффициент касательной равен производной функции.

7 = 4 х - 1.

- 4 х = - 1 - 7.

-4 х = - 8.

х = - 8 : ( - 4) = 2.

f (2) = 2 * 2² - 2 + 1 = 2 * 4 - 2 + 1 = 8 - 2 + 1 = 7.

5) Исследуем функцию на выпуклость и точки перегиба.

Сначала найдем первую производную функции.

f' (x) = (2 х³ + 9x² - 24x) ' = (2x³) ' + (9x²) ' - (24x) ' = 2 * 3x² + 9 * 2x - 24 = 6x² + 18x - 24.

Теперь найдем вторую производную функции.

f" (x) = (6x² + 18x - 24) ' = (6x²) ' + (18x) ' - (24) ' = 6 * 2x + 18 - 0 = 12x + 18.

12x + 18 = 0.

12 х = - 18.

х = - 18 : 12 = - 1,5.

Функция вогнута вниз на интервале х ( - 1,5; + ∞) так как вторая производная больше нуля.

Функция выпукла вверх на интервале х ( - ∞; - 1,5) так как вторая производная меньше нуля.

В точке х = - 1,5 функция имеет точку перегиба.

y ( - 1,5) = 2 * ( - 1,5) ³ + 9 * ( - 1,5) ² - 24 * (-1,5) = - 6,75 + 20,25 + 36 = 49,5.

Ответ: 1) 12 м/с; 2) точки экстремума (0,875; 12,1875); 3) 12 м/с²; 4) х = 2, у = 7; 5) выпукла вверх на интервале х ( - ∞; - 1,5); х = - 1,5; y = 49,5 - точка перегиба.