Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию с разностью, которая не равна нулю. докажите что только один угол этого треугольника больше 60°

1. Пусть:

a ≤ b ≤ c - стороны треугольника. α ≤ β ≤ γ - соответствующие углы.

Тогда:

a = b - d; c = b + d, где d > 0 - разность арифметической прогрессии.

2. По теореме косинусов имеем:

b^2 = a^2 + c^2 - 2accosβ; 2accosβ = a^2 + c^2 - b^2; cosβ = 1/2 * (a^2 + c^2 - b^2) / ac; cosβ = 1/2 * ((b - d) ^2 + (b + d) ^2 - b^2) / (b - d) (b + d); cosβ = 1/2 * (b^2 + 2d^2) / (b^2 - d^2) > 1/2 * b^2/b^2 = 1/2; cosβ > 1/2; β < 60°.

3. Средний угол треугольника меньше 60°, значит, только один угол этого треугольника больше 60°. Что и требовалось.