ctgx cos3x=cos4x + sin3x

В задании представлено равенство тригонометрических выражений. Скорее всего, нужно решить уравнение. Прежде всего, воспользуемся формулой ctgα = cosα / sinα и отметим, что данное равенство имеет смысл только при sinx ≠ 0, то есть х ≠ π * m, где m - целое число. Итак, (cosx * cos (3 * x)) / sinx = cos (4 * x) + sin (3 * x) или cosx * cos (3 * x) = sinx * cos (4 * x) + sinx * sin (3 * x). Воспользуемся формулами: cosα * cosβ = (cos (α - β) + cos (α + β)) / 2; sinα * cosβ = (sin (α + β) + sin (α - β)) / 2; sinα * sinβ = (cos (α - β) - cos (α + β)) / 2. Кроме того, учтем нечётность синуса (sin (-α) = - sinα) и чётность косинуса (cos (-α) = cosα). Тогда, уравнение примет вид: cos (2 * x) + cos (4 * x) = sin (5 * x) - sin (3 * x) + cos (2 * x) - cos (4 * x) или 2 * cos (4 * x) = sin (5 * x) - sin (3 * x). К правой части полученного уравнения применим формулу: sinα - sinβ = 2 * sin ((α - β) / 2) * cos ((α + β) / 2). Итак, 2 * cos (4 * x) = 2 * sinx * cos (4 * x) или cos (4 * x) * (sinx - 1) = 0. Последнее уравнение позволяет утверждать: cos (4 * x) = 0 или sinx - 1 = 0. Таким образом, получили два простейших тригонометрических уравнения. Решим первое уравнение cos (4 * x) = 0. Имеем: 4 * х = (π / 2) + π * n, откуда х = (π / 8) + (π / 4) * n, где n - целое число. Второе уравнение sinх - 1 = 0 или sinх = 1. Последнее уравнение имеет корни: х = (π / 2) + 2 * π * k, где k - целое число. Следует отметить, что условие х ≠ π * m, где m - целое число, выполняется для обеих групп корней.

Ответ: х = (π / 8) + (π / 4) * n, где n - целое число; х = (π / 2) + 2 * π * k, где k - целое число.