12sinx + 5cosx + 13=0

Разделим уравнение на √ (12^2 + 25^2) = 13:

12/13sin (x) + 5/13cos (x) + 1 = 0.

Нетрудно заметить, что 12/13 = cos (a), 5/13 = sin (a), где a = arcsin (5/13). С учетом этого уравнение принимает следующую форму:

cos (a) sin (x) + sin (a) cos (x) + 1 = 0.

Задействовав формулу синуса суммы двух аргументов, получим:

sin (a + x) + 1 = 0;

sin (a + x) = - 1.

Корни уравнения вида sin (x) = a определяет формула:

x = arcsin (a) + - 2 * π * n, где n натуральное число.

a + x = arcsin (-1) + - 2 * π * n;

x = - π/2 - arcsin (5/13) + - 2 * π * n.