Решить уравнение и найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку П/2; 2 П 3 sin^2 x + 5 sin x + 2 = 0

3 sin^2 x + 5 sin x + 2 = 0;

Уравнение является квадратным относительно sin x.

Пусть sin x = t;

Тогда уравнение примет вид:

3t^2 + 5t + 2 = 0;

Здесь а = 3, b = 5, c = 2;

Д = b^2 - 4ac;

Д = 5^2 - 4 * 3 * 2 = 25 - 24 = 1;

Корни квадратного уравнения находим по формуле:

t1,2 = ( - b ± √Д) / 2 а;

t1 = ( - 5 + √1) / 2 * 3 = ( - 5 + 1) / 6 = - 4 / 6 = - 2/3;

t2 = ( - 5 - √1) / 2 * 3 = ( - 5 - 1) / 6 = - 6 / 6 = - 1;

Находим корни тригонометрического уравнения:

sin x = - 2/3;

х1 = arcsin ( - 2 / 3) + 2πk;

х1 = - arcsin (2 / 3) + 2πk, k ∈Z;

На промежутке (π/2; 2π) x1 = - arcsin (2 / 3) + 2π;

x2 = π - arcsin ( - 2 / 3) + 2πk;

х2 = π - ( - arcsin (2 / 3)) + 2πk;

х2 = π + arcsin (2 / 3) + 2πk, k ∈Z;

На промежутке (π/2; 2π) x2 = π + arcsin (2 / 3);

sin x = - 1;

х3 = 3π / 2 + 2πk, k ∈Z;

На промежутке (π/2; 2π) x3 = 3π / 2;

Ответ: x1 = - arcsin (2 / 3) + 2π;

x2 = π + arcsin (2 / 3);

x3 = 3π / 2;