Докажите что 5 а²+4 а-2ab+b²+2 больше 0 при всех данных значениях а и b

Преобразуем выражение, выделив квадратные части в отдельные части:

5 а^2 + 4 * а - 2 * a * b + b^2 + 2 = (b^2 - 2 * a * b + а^2) + (4 * а^2 + 4 * a + 1) + 1 =

= (b - a) ^2 + (2 * а + 1) ^2 + 1.

Чтобы выражение было равно нулю, необходимо, чтобы

(b - a) ^2 + (2 * а + 1) ^2 + 1 = 0.

Или, (b - a) ^2 + (2 * а + 1) ^2 = - 1.

А это невозможно, так как при любых значениях a и b выражения в квадратах больше нуля, то есть:

(b - a) ^2 > 0;

(2 * а + 1) ^2 > 0.

Значит, выражение 5 а²+4 а-2ab+b²+2 > 0 при любых значениях а и b.