Если точки А (1; 3; 2), С (-1; 0; 2) и Д (5; -4; 1) являются вершинами параллелограмма АВСД, то длина диагонали ВД равна

Противолежащие стороны параллелограмма ABCD равны: AB = CD, AD = BC, AC и BD - диагонали.

1. Найдем длину стороны AD. Расстояние между точками A (1; 3; 2) и D (5; - 4; 1) вычисляется по формуле:

AD = √ ((x₁ - x₂) ² + (y₁ - y₂) ² + (z₁ - z₂) ²);

AD = √ ((1 - 5) ² + (3 - (-4)) ² + (2 - 1) ²) = √ (( - 4) ² + 7² + 1²) = √ (16 + 49 + 1) = √66.

Тогда AD = BC = √66.

2. Найдем длину стороны CD. Расстояние между точками С (-1; 0; 2) и D (5; - 4; 1) вычисляется по формуле:

CD = √ ((x₁ - x₂) ² + (y₁ - y₂) ² + (z₁ - z₂) ²);

CD = √ (( - 1 - 5) ² + (0 - (-4)) ² + (2 - 1) ²) = √ (( - 6) ² + 4² + 1²) = √ (36 + 16 + 1) = √53.

Тогда AB = CD = √53.

3. Найдем длину диагонали АС. Расстояние между точками A (1; 3; 2) и C (-1; 0; 2) вычисляется по формуле:

AC = √ ((x₁ - x₂) ² + (y₁ - y₂) ² + (z₁ - z₂) ²);

AC = √ ((1 - (-1)) ² + (3 - 0) ² + (2 - 2) ²) = √ (2² + 3² + 0²) = √ (4 + 9) = √13.

4. Из тождества параллелограмма следует, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон:

d₁² + d₂² = 2 (a² + b²).

В нашем случае d₁ = BD, d₂ = AC, a = AD, b = CD.

Тогда:

AC² + BD² = 2 (AD² + CD²);

(√13) ² + BD² = 2 ((√66) ² + (√53) ²);

13 + BD² = 2 (66 + 53);

13 + BD² = 2*119;

BD² = 238 - 13;

BD² = 225;

BD = √225;

BD = 15.

Ответ: BD = 15.