Гипотенуза прямоугольного треугольника с, а сумма синусов его острых углов q. Найдтите площадь этого треугольника

Пусть АВС - прямоугольный треугольник с гипотенузой ВС = с.

Площадь этого треугольника равна:

S = ½ * AB*AC.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике есть отношение противоположного катета к гипотенузе. С учётом условия распишем:

sinB + sinC = AC/c + AB/c = (AC + AB) / c = q.

Следовательно,

AC + AB = q*с. (1)

В то же время, по теореме Пифагора:

(AB) ^2 + (AC) ^2 = c^2.

(AB) ^2 + (AC) ^2 + 2*AB*AC - 2*AB*AC = (AC + AB) ^2/q^2.

(AC + AB) ^2 - 2*AB*AC = (AC + AB) ^2/q^2.

Подставим (1):

(qc) ^2 - 2*AB*AC = (qc) ^2/q^2.

AB*AC = ((qc) ^2 - (qc) ^2/q^2) / 2 = (c^2 (q^2-1)) / 2.

S = ½ * AB*AC = (c^2 * (q^2-1)) / 4.