В параллелограмме одна из сторон равна 20 м а диагонали равны 32 м и 40 м. Найдите неизвестную сторону параллелограмма и косинус угла между диагоналями

Пусть параллелограмма ABCD имеет O (точка пересечения диагоналей)

AB=a = 20; d₁=BD = 32; d₂=AC=40.

ΔAOB известен по трем сторонам:

BO = BD/2 = 16; AO = AC/2 = 40/2 = 20 = AB. ⇒ΔAOB - равнобедренный

Проведем AH ⊥BO (BH = HO = BO/2 = 16/2 = 8 высота и медиана совпадают), поэтому cos∠AOB = (BO/2) / AO = 8/20 = 2/5 ⇒

∠AOB = arccos (2/5).

Из ΔAOD: AD² = AO² + OD² - 2AO*OD*²cos (180° - ∠AOB) ⇔

AD² = AO² + OD² + 2AO*OD*²cos ∠AOB;

b = AD = √ (20²+16² + 2*20*16*2/5) = √912 = √ (16*57) = 4√57.