Равнобедренный треугольник с основанием 8 см вписан в окружность радиуса 5 см. Найдите площадь этого треугольника и его боковую сторону.

Обозначим через h высоту данного равнобедренного треугольника, а через а - длину боковой стороны данного треугольника.

Тогда площадь данного треугольника должна быть равной 8h/2 = 4h см^2.

Применяя формулу площади треугольника через радиус описанной окружности, можем составить следующее уравнение:

4h = а^2 * 8 / (4 * 5),

упрощая которое, получаем:

4h = а^2 * 8/20;

а^2 = 4h * 20/8;

а^2 = 10h.

Применяя теорему Пифагора, можем составить следующее уравнение:

h^2 + (8/2) ^2 = а^2.

Подставляя в данное уравнение значение а^2 = 10h, получаем:

h^2 + (8/2) ^2 = 10h;

h^2 + 16 = 10h;

h^2 - 10h + 16 = 0;

h = 5 ± √ (25 - 16) = 5 ± √9 = 5 ± 3;

h1 = 5 + 3 = 8;

h2 = 5 - 3 = 2 см.

Находим а:

а1 = √ (10h1) = √ (10 * 8) = √80 = 4√5 см;

а2 = √ (10h2) = √ (10 * 2) = √20 = 2√5 см.

Находим площадь данного треугольника:

при h = 8:

4 * 8 = 32 см^2:

при h = 2:

4 * 2 = 8 см^2.

Ответ: условию задачи удовлетворяют два треугольника: с боковой стороной 4√5 см и площадью 32 см^2 и боковой стороной 2√5 см и площадью 8 см^2