В прямоугольную трапецию с основаниями а и b вписана окружность радиуса r. Докажите, что r = a*b / (a+b)

Рассмотрим прямоугольную трапецию АВСD.

Точки K, L, M, N - точки касания сторон AB, BC, CD, AD с окружностью соответственно.

а - нижнее основание, b - верхнее основание, О - центр окружности.

Тогда BL = BK = AK = AN = r, LC = CM = b - r, MD = ND = a - r.

Пусть ОС = х, ОD = y.

Треугольники МОС и МОD - прямоугольные, так как касательная СD перпендикулярна радиусу.

Тогда,

х^2 = r^2 + (b - r) ^2.

(1) y^2 = r^2 + (a - r) ^2.

Из прямоугольного треугольника OCD:

(2) y^2 = (b + a - 2 * r) ^2 - x^2 = (b + a - 2 * r) ^2 - r^2 - (b - r) ^2.

Приравняем (1) и (2).

(b + a - 2 * r) ^2 - r^2 - (b - r) ^2 = r^2 + (a - r) ^2;

(b + a) ^2 - 4 * r * (b + a) + 4 * r^2 - 2 * r^2 = a^2 - 2 * a * r + r^2 + b^2 - 2 * b * r + r^2;

b^2 + 2 * a * b + a^2 - 4 * r * b - 4 * r * a + 2 * r^2 = a^2 + b^2 - 2 * a * r - 2 * b * r + 2 * r^2.

2 * a * b - 2 * r * b - 2 * r * a = 0.

a * b - r * (b + a) = 0.

r = a * b / (b + a).