В треугольнике ABC сторона AB=9, BC=15, и AC=18. Биссектриса AK и медиана BL пересекаются в точке О. Найдите разность площадей ABC и четырёхугольника LOKC

Question

Ариана Козлова

Геометрия

15 марта, 19:39

В треугольнике ABC сторона AB=9, BC=15, и AC=18. Биссектриса AK и медиана BL пересекаются в точке О. Найдите разность площадей ABC и четырёхугольника LOKC

+4

Ответы (1)

Знаешь ответ на этот вопрос?

Ульяна Москвина · Answer 1

В треугольнике АВС известны все стороны, его площадь находим по формуле Герона.

S = √ (p * (p - a) * (p - b) * (p - c)).

p = 1/2 * (AB + BC + AC) = 21.

S _ABC = √ (21 * (21 - 9) * (21 - 15) * (21 - 18) = √ (21 * 12 * 6 * 3) = √4536 = 18√14.

Треугольник ABL - равнобедренный (АВ = AL = 9), значит, АО - медиана.

По свойству медианы имеем:

S _AOL = 1/2 * S _ABL.

В треугольнике АВС (BL - медиана по условию), значит:

S _ABL = 1/2 * S _ABC = 9√14.

S _AOL = 1/2 * S _ABL = 9/2√14.

АК - биссектриса, следовательно:

S _ABK / S _AKC = BK / KC = AB / AC = 9/18 = 1/2.

S _ABK = 1/3 * S _ABC = 1/3 * 18√14 = 6√14.

S _ABC - S _LOKC = S _AOL + S _ABK = 9/2√14 + 6√14 = 21/2√14.

Ответ: разность площадей составляет 21/2√114.