Через середину О гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС проведены прямые, параллельные его катетам. Одна из них пересекает катет АС в точке М, другая - катет ВС в точке N. Найдите гипотенузу АВ, если MN = 7 см.

Докажем, что треугольники САВ и CMN подобны, а значит

АВ = 2 * МN.

Треугольники САВ и МАО подобны, так как угол С равен углу М, угол А общий, угол О равен углу В.

По условию О это середина АВ, значит АО = АВ/2.

Треугольники МАО и СМN равны, так как NM параллельно АС, МО параллельно СВ, а МN параллельно АВ, О середина АВ, а СМОN - прямоугольник, где МО = СN, CM = ON.

Таким образом, все углы и стороны треугольников МАО и СМN равны.

Следовательно, MN = AO = AB/2.

Отсюда, АВ = 2 * MN = 2 * 7 = 14 см.