Вычислите радиус окружности вписанной в равносторонний треугольник высота которого 1

Для начала найдем длину стороны данного равностороннего треугольника.

Рассмотрим один из прямоугольных треугольников, на которые высота делит данный равносторонний треугольник.

В таком прямоугольном треугольнике гипотенузой является сторона равностороннего треугольника, одним из катетов - половина стороны равностороннего треугольника, а вторым катетом - высота равностороннего треугольника.

Обозначив длину стороны равностороннего треугольника через x, можем составить следующее уравнение:

(x/2) ^2 + 1^2 = x^2,

решая которое, получаем:

x^2 - (x/2) ^2 = 1;

x^2 - x^2/4 = 1;

3x^2/4 = 1;

x^2 = 4/3;

х = √ (4/3) = 2/√3.

Находим площадь данного равностороннего треугольника:

(2/√3) * (2/√3) * sin (60°) / 2 = (4/3) * (√3/2) / 2 = √3/3.

Применяя формулу площади треугольника через радиус r вписанной окружности, находим r:

r = 2 * (√3/3) / (2/√3 + 2/√3 + 2/√3) = (2√3/3) / (6/√3) = (2√3/3) / (6√3/3) = 2/6 = 1/3.

Ответ: 1/3.