Из вершины прямого угла c треугольника ABC проведена высота cp. радиус окружности вписанной в треугольник BCP равен 60, тангенс угла BAC 4/3 найдите радиус окружности вписанной в треугольник ABC.

1. Имеем:

tg A = 4/3, значит tg PCB = 4/3, следовательно PB/CP = 4/3.

Пусть PB = 4 * x, тогда CP = 3 * x, r=2 * S/P.

Тогда получим:

r = 3x * 4x * 2 / 2 * (3x + 4x + √ (3x^2 + 4x^2);

r = 12x^2 / 12 * x;

r = 60, значит x=60;

2. Найдем РВ:

PB = 4 * 60;

РВ = 240.

Найдем СР:

CP = 3 * 60;

СР = 180;

Найдем ВС:

BC = √180^2 + 240^2;

ВС = 300;

3. BC/AC=4/3;

AC = BC * 3/4;

АС = 225.

4. Найдем АВ:

AB = √AC^2 = BC^2;

АВ = √300^2;

АВ = 225^2;

АВ = 375;

5. Найдем радиус:

r = a + b - c / 2, соответственно r = CB + AC - AB/2 = 75;

Ответ: 75